求助一道线性代数题目
已知3阶方阵A的特征值为0,1,2，所对应的特征向量为[1,1,1]T[1,1,0]T[1,0,0]T求A^k，其中k为任意正整数...
已知3阶方阵A的特征值为0,1,2 ， 所对应的特征向量为[1,1,1]T [1,1,0]T [1,0,0]T
求 A^k，其中k为任意正整数 展开
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令B=0 0 0 P=1 1 1
0 1 0 1 1 0
0 0 2 1 0 0
则P^(-1)AP=B，即A=PBP^(-1)，所以A^k=PB[P^(-1)P]B[P^(-1)P]B…………[P^(-1)P]BP^(-1)=PB^kP^(-1)，P^(-1)可由以下过程求得。
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 → 1 1 0 0 1 0 → 0 1 0 0 1 -1 → 0 1 0 0 1 -1
1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 -1 0 0 1 1 -1 0
所以，A^k=2^k 1-2^k -1
0 1 -1
0 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 2 1 0 0
则P^(-1)AP=B，即A=PBP^(-1)，所以A^k=PB[P^(-1)P]B[P^(-1)P]B…………[P^(-1)P]BP^(-1)=PB^kP^(-1)，P^(-1)可由以下过程求得。
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 → 1 1 0 0 1 0 → 0 1 0 0 1 -1 → 0 1 0 0 1 -1
1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 -1 0 0 1 1 -1 0
所以，A^k=2^k 1-2^k -1
0 1 -1
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