Question

若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底

Answer 1

就看 a+b,b+c,c+a是否线性无关。
对于 k1(a+b)+k2(b+c) + k3(c+a) =0
即 (k1+k3)a +(k1+k2)b +(k2+k3)c=0
有 k1+k3=0
k1+k2=0
k2+k3=0
解得 k1=k2=k3=0
所以线性无关，可以作基底。

Answer 2

假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c
∵{a,b,c}为基底
∴a,b,c不共面
∴1＝μ,1＝λ,0＝λ＋μ
此方程组无解
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面