Question

已知矩阵的的特征值和特征向量，反过来求矩阵本身。

若矩阵可相似对角化，则p=[a1,a2,a3...], P-1AP=^ , 如果有一个特征值是0 ，就是说如果“^”等于零怎么算

Answer 1

矩阵A可相似对角化,就是和你说的一样,其中a1,a2...一定是A的n个线性无关特征向量,对应的^一定是A的n个特征值.
由此已知了全部特征值,就可知^,已知了对应的特征向量就可找到对应的P,则P-1AP=^ ,
由此A=P^P-1.

而“^”等于零的含义是对角矩阵对角线上全为0,就是n阶0矩阵.一定要注意^是一个n阶矩阵,并且对角线上的元素是A的特征值,若^=0,说明A的特征值全部为0,说明A秩为0也是0矩阵.另一方面,按照我们上边的推法A=P^P-1=P0P-1=0,同样也说明了A=0.

注意你说的是有"一个"特征值是0的话,那其他n-1个是多少呢?此时^一定是0矩阵么?.
一定要体会矩阵的特征值有n个这个概念,以及^的对角线上为n个全部特征值.好多初学者都只将矩阵的一个特征值和n个特征值搞混.比如满足本题三阶矩阵特征值0,1,2,则^只能是diag{0,1,2},不能是diagram{0,0,0}.后者只能是特征值全为0的情形.

Answer 2

比如：
三阶矩阵A，特征值为1,1,2，对应特征向量为【1,2,1】[1,1,0][2,0,-1]求A

[提示]
令P =
1 1 2
2 1 0
1 0 -1

L =
1 0 0
0 1 0
0 0 2

则由条件可知
P^{-1}AP = L.
因此A = PLP^{-1}.

Answer 3

dd