Question

已知数列an的前n项和为sn，且对任意正整数n都有an是n与sn的等差中项(1)bn=an+1，求bn

已知数列an的前n项和为sn，且对任意正整数n都有an是n与sn的等差中项(1)bn=an+1，求bn

Answer 1

an是n与Sn的等差中项,即：
an -n=Sn -an,亦即:2an=n+Sn

令n=1,代入得a1=1
当n≥2时：
2an=n+Sn ;
2a(n-1)=(n-1)+S(n-1)
二式相减:2an-2a(n-1)=1+Sn -S(n-1)
再由an=Sn-S(n-1)代入得：
an=2a（n-1）+1

由上述n≥2时：
an=2a（n-1）+1
左右各+1即：1+an＝2a(n-1)+2=2[1+a(n-1)]
显然，{1+an}为q=2的等比数列，首项1+a1=2
故1+a n=2*2^(n-1)
即bn=2*2^(n-1)=2^n.