Question

如何计算定积分e^(-x^2)dx，积分区间为负无穷到零

Answer 1

解题过程如下：

设积分为A，

令 B＝ ∫ e^(-x^2)dx 积分区间为负无穷到正无穷，

又 B＝ ∫ e^(-y^2)dy 积分区间为负无穷到正无穷

被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数，所以A=B/2

B^2= (∫ e^(-x^2)dx)*(∫ e^(-y^2)dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy

将上述积分化到极坐标中， x^2+y^2=r^2

∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy = ∫ ∫ r e^(-r^2)dr dθ r从0到正无穷，θ从0到2π

= ∫ 1/2 dθ θ从0到2π

= π

所以B＝√π

所以原积分就是 B/2 = √π /2

若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个导函数的原函数。

Answer 2

解题过程如下：

设积分为A，

令 B＝ ∫ e^(-x^2)dx 积分区间为负无穷到正无穷，

又 B＝ ∫ e^(-y^2)dy 积分区间为负无穷到正无穷

被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数，所以A=B/2

B^2= (∫ e^(-x^2)dx)*(∫ e^(-y^2)dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy

将上述积分化到极坐标中， x^2+y^2=r^2

∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy = ∫ ∫ r e^(-r^2)dr dθ r从0到正无穷，θ从0到2π

= ∫ 1/2 dθ θ从0到2π

= π

所以B＝√π

所以原积分就是 B/2 = √π /2

若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]， (x1，x2]， (x2，x3]， …， (xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1，2，...，n）。

把函数在某个区间上的图象[a，b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a，b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a，b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a，b。

参考资料来源：百度百科--定积分

Answer 3

解题过程如下：

设积分为A，

令 B＝ ∫ e^(-x^2)dx 积分区间为负无穷到正无穷，

又 B＝ ∫ e^(-y^2)dy 积分区间为负无穷到正无穷

被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数，所以A=B/2

B^2= (∫ e^(-x^2)dx)*(∫ e^(-y^2)dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy

将上述积分化到极坐标中， x^2+y^2=r^2

∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy = ∫ ∫ r e^(-r^2)dr dθ r从0到正无穷，θ从0到2π

= ∫ 1/2 dθ θ从0到2π

= π

所以B＝√π

所以原积分就是 B/2 = √π /2

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

扩展资料

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 4

设你所要求的积分为A，
令 B＝ ∫ e^(-x^2)dx 积分区间为负无穷到正无穷，
又 B＝ ∫ e^(-y^2)dy 积分区间为负无穷到正无穷
被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数，所以A=B/2
B^2= (∫ e^(-x^2)dx)*(∫ e^(-y^2)dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy
将上述积分化到极坐标中， x^2+y^2=r^2
∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy = ∫ ∫ r e^(-r^2)dr dθ r从0到正无穷，θ从0到2π
= ∫ 1/2 dθ θ从0到2π
= π
所以B＝√π
所以你要求的原积分就是 B/2 = √π /2
当然，你要是知道B＝ ∫ e^(-x^2)dx 这个积分是泊松积分，而泊松积分的值就等于√π的话，这道题目的答案不用计算就知道是√π/2，泊松积分这样的常用积分的值你如果能记住的话，对快速解题很有帮助。
泊松积分的计算有两种方法，上面的是把积分化成二重积分来计算，还有一种方法同上面的方法差不多，是把该积分化成喊参变量的积分后再通过夹逼准则来计算，具体你有兴趣的话可以去翻一下有关的高数和数分的教科书。

追问

请问那如果是这个积分呢？积分区间依旧不变的话

追答

答案就是 √(2π)/2
方法一
解题步骤跟上面的一样，先把积分区间拓展到负无穷到正无穷，然后化成二重积分
B^2= (∫ e^[(-x^2)/2]dx)*(∫ e^[(-y^2)/2]dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2)/2)dx dy
在化成极坐标 上世= ∫ ∫ r e^[(-r^2)/2]dr dθ = ∫ 1 dθ θ从0到2π
= 2π
B^2 = 2π
B= √(2π)
所以原积分就等于 B/2 = √(2π)/2
方法完全一样啊
方法二
你把原积分区间拓展后的B这个积分写成 √2 ∫ e^[(-x^2)/2] d (x/√2)
你令 t= x/√2 上面的积分就成了 √2 ∫ e^(-t^2)dt
你看积分部分还是泊松积分，泊松积分的值为√π，所以B就等于√(2π)
最后答案 B/2 = √(2π)/2
答案完全一样。
方法三
原积分= ∫ e^[(-x^2)/2] dx = [√(2π)/√(2π)] ∫ e^[(-x^2)/2] dx 这一步就是积分前加个系数，乘以 √(2π)再除以√(2π)，结果还是1。
然后 原式 = √(2π)* 【[1/√(2π)] ∫ e^[(-x^2)/2] dx 】
【】大括号里的式子，它就是概率统计中的N(0,1)的正太分布的分布函数，有N(0,1)的概率分布函数的性质可知，他在积分区间为正无穷到负无穷是【】里的式子等于1，所以当他的积分区间为负无穷到0，他的值就是1/2。
所以原式=√(2π)* （1/2）=√(2π)/2
解题的方法有很多，你要会灵活运用啊。