Question

设函数f (x)＝√3（cosωx）平方＋sinωxcosωx＋a（其中ω＞0，a∈r），

且f (x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π/6．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f (x)在区间[－π/3，5π/6]上的最小值为√3．求a的值．

Answer 1

f (x)＝√3（cosωx）平方＋sinωxcosωx＋a
=√3(1+cos2ωx)/2+(sin2ωx)/2+a
=sin(2ωx+π/3)+a+√3/2

(1) 2ω*π/6 +π/3=π/2
所以 ω=1/2
(2) f(x)=sin(x+π/3)+a+√3/2
x+π/3∈[0,7π/6]
所以 x+π/3=7π/6
时，y有最小值 -1/2+a+√3/2=√3
a=1/2+√3/2

Answer 2

f(x)＝√3cos²(ωx)＋sinωxcosωx＋a＝√3/2[2cos²(ωx)－1]＋1/2×2(sinωxcosωx)＋a＋√3/2
＝√3/2cos(2ωx)＋1/2sin(2ωx)＋a＋√3/2＝sin(2ωx＋π/3)＋a＋√3/2
∵f (x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π/6
∴sin(2ω×π/6＋π/3)＝1