求齐次线性方程组x1+x2+x3+x4 2x1+3x2+4x3+5x4=0 4x1+5x2+6x3+7x4=0 的基础解系及通解。
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2 3 4 5 → 0 1 2 3 → 0 1 2 3
4 5 6 7 0 1 2 3 0 0 0 0
所以，原方程组与方程组X1+X2+X3+X4=0,x2+2x3+3x4=0同解，令x3=1,x4=0,得到方程组的一个解为(1,-2,1,0)^T.再令x3=0,x4=1,得到方程组的另一个与之线性无关的解为(2,-3,0,1)^T.所以，该方程组的基础解系为(1,-2,1,0)^T和(2,-3,0,1)^T，通解为k1(1,-2,1,0)^T+k2(2,-3,0,1)^T,k1,k2∈P.
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所以，原方程组与方程组X1+X2+X3+X4=0,x2+2x3+3x4=0同解，令x3=1,x4=0,得到方程组的一个解为(1,-2,1,0)^T.再令x3=0,x4=1,得到方程组的另一个与之线性无关的解为(2,-3,0,1)^T.所以，该方程组的基础解系为(1,-2,1,0)^T和(2,-3,0,1)^T，通解为k1(1,-2,1,0)^T+k2(2,-3,0,1)^T,k1,k2∈P.
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