Question

抛物线y=x平方-2x+m与x轴交于A、B两点,与y轴交于C(0,-3)（1）求抛物线的解析（2）若在第四象限的抛物线上

（2）若在第四象限的抛物线上存在一点p，使△PBC是以点C为直角顶点的直角三角形，求点p的坐标（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使四边形BCPQ为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）:由题可知，在y=x平方-2x+m中，与x轴交于A、B两点，可令y=0，得1式：x^2-2x+m=0；与y轴交于C(0,-3)，代入y=x平方-2x+m中，得2式：-3=m，再将2式代入1式，得：x^2-2x-3=0，解得y=x平方-2x-3与x轴的交点为（-1，0）和（3，0）；抛物线的解析为y=x^2-2x-3=(x-3)(x+1);
（2）:假设存在此一点P，坐标为(a,b)，则此过P点与C点的直线斜率和过B点与C点的直线斜率相乘应等于-1，即：一：设B点为（-1，0），则：(b+3)/(a-0)=-(0+3)/(-1-0),解得：b=3a-3,再将些P点代入抛物线中，得：b=a^2-2a-3，由上两式得P点为（5，12）或（枝厅哪0，0），此两P点不符合题意；同理设B点为（3，0），解得P点为（1，-4）伏答，此P点符合题意。
（3）：假设存在此一点Q，坐标为(c,d)，代入抛物线中，得：d=c^2-2c-3,此时，我们可以确定的是，角PCB为直角，又我们假设了存在一点Q，使四边形BCPQ为直角梯形，则过P点与C点的直线和过B点与C点的直线平行（这个一定要在纸上画出抛物线的图和各点的坐标才会有一个直观的感觉），接着就可以按着（2）的思路，两猛码直线的斜率相乘应等于-1，得出另一式：(d+4）/(C-1)=1,由上两式得，c^2-3c+2=0,解得c=2，d=-3，即存在一点Q（2，-3），使得......
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