Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中已知E,F.G分别是棱AB,AD,D1A1的中点 求证BG平行面A1EF

（2）若P为棱CC1上的一点，求当CP/PC1等于多少时，平面A1EF垂直于平面EFP

Answer 1

取O为A1B1中点，连接GO，OB,GB，有：
∵F,E为AB,AD中点，G,O为A1B1，A1D1A中点
∴FE∥GO，BO∥A1E
∵GO,BO∈平面GOB，则FE∥面GOB，A1E∥面GOB
∵FE∩A1E=E，EF∈平面A1EF,A1E∈平面A1EF
∴平面A1EF∥平面GOB
∵BG∈平面GOB
∴BG∥A1EF
【要证明线面平行，可证明面面平行，在证明线在平面内，则可证明线面平行，面面平行证明：直线a，b均在平面α内，且a∩b=A a∥β b∥β 则α∥β】

(2)设正方体边长为1，PC为X，取N为FE中点，连接FP,EP,NP,A1N。
∵E,F为AB,AD中点，在正方体内，△PEF为等腰三角形，△A1EF为等腰三角形。
∴NP⊥EF,A1N⊥EF。
∴∠A1NP为平面A1EF与平面EFP的二面角
∴当平面A1EF垂直于平面EFP时，∠A1NP为90°
∴有连接NC，A1P,A1C1，由勾股定理得：
A1P²=3+X²-2X，A1N²=5/4（四分之五），NP²=9/8+X²
∴AN²+CP²=A1P²，3+X平方-2x=5/4+9/8+X²
所以X=5/16，既PC=5/16，PC1=11/16
∴当CP/PC1=5/11时，平面A1EF垂直于平面EFP
【计算部分请自己再算一遍，因为我的计算老是出错】

Answer 2

证明：连接EF、CD1、BA1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E，F分别是棱AB，AA1的中点，∴EF∥BA1， EF=12BA1，
又A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴BA1∥CD1BA1=CD1
∴EF∥CD1， EF=12CD1∴四边形是梯形，
∴D1F与CE的延长线交于一个点，设为O点，
则有O∈D1F，D1F⊂平面AD1，
∴O∈平面AD1，同理O∈平面AC，且平面AD1∩平面AC=AD
∴O∈AD，∴三条直线DA，CE，D1F交于一点．