Question

已知函数f(x)=sin(x+4分之7π)+cos(x-4分之3π),x∈R（1）求函数最小值和最小正周期

（2）已知cos（β-α）=5分之4，cos（β+α=-5分之4，（0＜α＜β≤2分之π）求证：【f（β）】方-2=0

Answer 1

f(x)=sin(x+2π-π/4)+cos(x-3π/4)
=sin(x-π/4)+cos(x-3π/4)
=sin(x-π/4)+cos(x-π/4-π/2) \\公式 cos（x-π/2)=sinx\\
=sin(x-π/4)+sin(x-π/4)
=2sin(β-π/4)
所以最小正周期为2π，函数最小值为 -2
（2）f（β）=2sin(β-π/4)
∴【f（β）】方=4sin²(β-π/4) \\二倍角公式\\
=2cos(2β-π/2) +2
=2 sin（2β）+2 \\公式 cos（x-π/2)=sinx\\
下面求sin（2β）：
根据条件：cos（β-α）=4/5，cos（β+α）= - 4/5
sin（2β)=sin [（β-α）+（β+α) ]
=sin（β-α）cos(β+α) + cos（β-α）sin(β+α)
=3/5×4/5 -4/5×3/5=0 \\这里这种方法很常见，也是很喜欢考的技巧之一，就是已知
（β-α）和（β+α）的正弦或者余弦，求2β或者2α的
正弦或者余弦\\

【其中，∵0＜α＜β≤2分之π，∴0＜β-α＜π/2 ∴sin（β-α）＞0 , ∴ sin（β-α）=3/5
∵ cos（β+α)=-5分之4<0,且 0＜α＜β≤2分之π,
∴（β+α)∈（π/2，π）
所以sin（β+α)=3/5】 \\未知量正负的推导很重要\\
∴【f（β）】方=2 sin（2β）+2=0+2=2
所以：【f（β）】方-2=0

Answer 2

f(x)=sin(x+2π-π/4)+cos(x-3π/4)
=sin(x-π/4)+cos(x-3π/4)
=sin(x-π/4)+cos(x-π/4-π/2) \\公式 cos（x-π/2)=sinx\\
=sin(x-π/4)+sin(x-π/4)
=2sin(β-π/4)