Question

已知函数f(x)=2的x次方-2的-x次方，（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明之；

（2）利用定义证明：函数f(x)在（负无穷，正无穷）上是增函数

Answer 1

(1)∵x属于R，关于原点对称
又f(-x)=2的-x次方-2的x次方=-(2的x次方-2的-x次方)=-f(x)
∴函数f(x)是奇函数
(2)设任意x1,x2属于（负无穷，正无穷），且x1<x2
f(x1)-f(x2)=2的x1次方-2的-x1次方-2的x2次方+2的-x2次方
=2的x1次方-2的x2次方-（2的-x1次方-2的-x2次方）
=2的x1次方-2的x2次方-[(2的x1次方分之1)-(2的x2次方分之1)]
=2的x1次方-2的x2次方-[(2的x1次方分之2的x2次方)-(2的x2次方分之2的x1次方)]
=2的x1次方-2的x2次方-[2的x1+x2次方分之(2的x2次方-2的x1次方)]
=2的x1次方-2的x2次方+[2的x1+x2次方分之(2的x1次方-2的x2次方)]
=(2的x1次方-2的x2次方)(1+2的x1+x2次方分之1)
∵x1,x2属于（负无穷，正无穷），且x1<x2
∴(2的x1次方-2的x2次方)<0
(1+2的x1+x2次方分之1)>0
即
f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
函数f(x)在（负无穷，正无穷）上是增函数