Question

抛物线Y^2=2X的弦AB过定点（-2，0），求弦AB中点的轨迹方程。

Answer 1

过定点（-2，0）的直线是 y=k(x+2)
把直线方程代入抛物线方程，得
k²x²+4kx²+4k²=2x
k²x²+(4k²-2)x+4k²=0
那么这个方程的两个根是直线和抛物线的交点的两个横坐标
x1+x2=(2-4k²)/k²
y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k=(2-4k²)/k+4k=2/k
所以，AB的中点的坐标满足
x=(x1+x2)/2=(2-4k²)/2k² y=(y1+y2)/2=1/k k=1/y
那么。x=y²-2
即 y²=x+2 为一抛物线