Question

空间向量与立体几何题

如图所示，等腰三角形ABC的底边AB=6倍根号6高CD=3.点E是线段BD上异于B,D的动点，点F在BC边上，且EF垂直于AB，现沿EF将三角形BEF折起到三角形PEF的位置，是PE垂直于AE。记BE=x,V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积。（1）求V（x）的表达式（2）当x为何值时，V(X)取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与BF所成角的余弦值

Answer 1

(1) BE=x,显然EF||CD
所以 EF/CD=BE/BD,
EF=x/3倍根号6 *3=√6 *x/6;
S(△BEF)=BE*EF/2=√6 *x^2/12
S(△ABC)=6√6 *3/2=9√6;
S(ACFE)=9√6 -√6 *x^2/12。
因为EF⊥BE ，所以EF垂直于PE（折起的）。
又PE⊥AE，所以PE垂直于面ABC，所以h=PE=x，
V=1/3*S(ACFE)*h=3√6 *x-√6 *x^3/36;
(2) V=-√6 /36 *(x-6)^3-√6 /2 *(x-6)^2+12√6
所以当x=6时，V取最大值 12√6；
(3) 以E为原点EB方向为x轴，EF方向为y轴，EP方向为z轴建立坐标系。
则向量AC=（3√6,3,0） 向量PF=（0,√6 *x/6,-x）=(0,√6,-6)
AC·PF=3*√6=|AC|*|PE|*cosθ。
|AC|=3√7，|PE|=√42.
解得cosθ=1/7.

注:第二问导数你们应该没学过,暂时大概只能这样凑了.第三问根据题意我算的是AC与PF,不知道是不是你打错了,可追问,希望对你有所帮助.

Answer 2

真难