Question

导数求最值

求函数y=sqrt(x+27)+sqrt(13-x)+sqrt(x) 的最大值和最小值
用导数的方法 sqrt是开根号的意思

Answer 1

定义域 【0,13】
y'= (1/2) * [ 1/√(x+27) - 1/√(13-x) + 1/√x ]
令 y' = 0 => √x(13-x) - √x(x+27) + √(x+27)(13-x) = 0
√(13-x) * [ √x + √(x+27) ] = √x(x+27)
解得 x=9
y(9) = 6+2+3 = 11, y(0) = √27+√13 , y(13) = √40 + √13 < 11
最大值 y(9)=11, 最小值 y(0) = √27 + √13

追问

我到√(13-x) * [ √x + √(x+27) ] = √x(x+27)
解不出了，能不能吧过程写一下

追答

√(13-x) * [ √x + √(x+27) ] = √x(x+27)
平方，移项，再平方，消去 √, 确实不容易算出来，可以估计，借助数学软件。

Answer 2

y = f(x) = √(x+27) + √(13-x) + √x
f'(x) = (1/2)[1/√(x+27)] - 1/√(13-x) + 1/√x]
f''(x) = (1/4)[-1/x^(3/2) - 1/(x+27)^(3*2) - 1/(13-x)^(3/2)]
解f'(x) = 0 => x = 9
f''(9) = -1/24 < 0，∴f(9)是最大值，没有最小值
f(9) = 11

追问

f'(x) = 0怎么解的我化了好久都算不出，能不能写一下

追答

(1/2)[1/√(x+27) - 1/√(13-x) + 1/√x] = 0
√(13-x)√x - √(x+27)√x + √[(13-x)(x+27)] = 0
√(13x-x2) - √(x2+27x) = -√(-x2-14x+351)
(13x-x2) + (x2+27x) - 2√[(13x-x2)(x2+27x)] = -x2-14x+351
40x - 2√(-x⁴-14x3+351x2) = -x2-14x+351
√(-x⁴-14x3+351x2) = (x2+54x-351)/2
-x⁴-14x3+351x2 = x⁴/4 + 27x3 + 1107x2/2 - 9477x + 123201/4
-5x⁴ - 164x3 - 810x2 + 37908x - 123201 = 0
-(x-9)(5x3+209x2+2681x-13689) = 0
x-9 = 0 或 5x3+209x2+2681x-13689 = 0，後面那個三次方程無解
=> x=9

定義域是：x+27≥0，13-x≥0，x≥0，解不等式得出0≤x≤13
在下端點：f(0) = √27 + √13 + 0 = 3√3 + √13
在上端點：f(13) = 2√10 + √13 > f(0) = 3√3 + √13

∴最大值為11，最小值為3√3 + √13。

Answer 3

@。。已知正方形的边长为1，把四个角切掉 x ，做成一个正方体容器。 【求高手解一下，谢谢】
1》。求正方体的函数解析式。
2》。x 为何值时正方体体积最大。