Question

曲面积分

S为封闭光滑曲面，向量n为S的单位外法向量，向量l＝（a，b，c）为常向量，则S上的曲面积分
J＝∫∫(S上) cos<向量l，向量n> dS＝?？？？？？？
要过程噢亲

Answer 1

cos<向量l，向量n> ＝(l*n)/|l||n|＝(a*cosα+b*cosβ+c*cosγ)/|l|
其中l＝(a,b,c) n＝(cosα+cosβ+cosγ)
J＝∫∫(S上) cos<向量l，向量n> dS
＝∫∫(S上) (a*cosα+b*cosβ+c*cosγ)dS/|l|
＝∫∫(S上) (a*dxdy+b*dxdz+c*dydz)/|l|
这样就把第一类曲面积分转化为了第二类曲面积分，再用高斯公式，a,b,c为常数，各个偏导等于0，所以原积分等于0

Answer 2

J = \int_S <I,n>/|I| dS 余弦等于内积除以模
= 1/|I| * \int_S <I,n> dS, 由散度定理，变面积分为体积分
= 1/|I| * \int_V div(I) dV，常向量散度为0
= 1/|I| * \int_V 0 dV
= 0
其实这个问题说的是，常电场对于任何封闭曲面的电通量为0.

追问

能详细点吗，真心看不明白，用高斯公式能做吗，答案用的高斯，得数是0

追答

每一步都不能再化简了。哪一步不明白呢？如果你不知道散度定理，它其实就是高斯公式。
\int_S 是对S的面积分符号，\int_V是对S包围的空间V的体积分。
散度定理哪里都有，比如百科：http://baike.baidu.com/view/487364.html?fromTaglist

追问

就用高斯定理做好吗，你的步骤我要是写在试卷上肯定是拿不到分的，这题考点就是高斯，虽然你的过程正确，谢谢了

追答

你把 div(I) 写成 Ix+Iy+Iz 就行了。散度定理就是高斯公式，一个东西，只不过div这个符号你不认识而已。