Question

求最大面积

把一个三边长分别是3m、5m、7m的三角形材料，做成一个矩形，怎么样下料才能使矩形的面积最大？

Answer 1

设△ABC, AB=3，AC=5，BC=7

∵3²+5²<7²

∴∠A为钝角

∴矩形的一条边应落在BC边上。

设矩形为DEFG，D、E在BC边上，F、G分别在AC、AB边上

根据余弦定理：

cosB=(AB²+BC²-AC²)/(2*AB*BC)=11/14

cosC=(AC²+BC²-AB²)/(2*AC*BC)=13/14

tanB=√(1-cos²B)/cosB=5√3/11

tanC=√(1-cos²C)/cosC=3√3/13

设长方形的宽为DG=EF=x，长为DE=y

则BD=x/tanB, EC=x/tanC

y=DE=BC-BD-EC=7-x/tanB-x/tanC=7-11x/(5√3)-13x/(3√3)

矩形面积S=x*y=x*(7-11x/(5√3)-13x/(3√3))

即 S=-98/(15√3) x²+7x=-98/(15√3) (x - 1/2*7/(98/(15√3)) )²+49/4 / (98/(15√3)) 

当x=1/2*7/(98/(15√3))=15√3/28 时，S最大= 49/4 / (98/(15√3))=15√3/8

此时 BD=11x/(5√3)=33/28;  CE=13x/(3√3)=65/28

即在BC边上取D点使得BD=33/28=1.178571429米，

取E点使得CE=65/28=2.321428571米

做BC的垂线，交AB、AC两点G、F点 矩形DEFG面积最大

Answer 2

三角形三边一定时，该三角形的面积就确定了。通过把三角形适当的分割、适当的移位，可以拼成一个长方形。如果不考虑加工过程中的损耗时，长方形的面积和三角形的面积是相等的

Answer 3

在最短边上内接矩形，可得面积最大