Question

函数f(x)=lg (1+ax)/(1+2x)在定义域内为奇函数，求函数解析式

及定义域

Answer 1

∵函数f(x)=lg (1+ax)/(1+2x)在定义域内为奇函数
f(x)＋f(﹣x)=0成立
lg (1+ax)/(1+2x)＋lg (1-ax)/(1-2x)＝0
∴lg [(1+ax)/(1+2x)][(1-ax)/(1-2x)]＝lg1
[(1+ax)/(1+2x)][(1-ax)/(1-2x)]＝1
(1+ax)﹙1-ax)＝(1+2x)(1-2x﹚
∴1-a²x²=1-4x²
∴a²x²=4x²对定义域内的任意x都成立
∴a²=4
求得a=±2
显然a=2时函数解析式f(x)=lg (1+2x)/(1+2x)=lg1=0
此时(1+2x)/(1+2x)﹥0
(1+2x)(1+2x)﹥0
∴x≠-½定义域为﹙-∞，-½﹚∪﹙﹣½，﹢∞﹚不关于原点对称
∴它既不是奇函数又不是偶函数
当a=-2时f(x)＋f(﹣x)=0成立
函数解析式f(x)=lg (1-2x)/(1+2x)
f(x)＋f(﹣x)=0成立函数为奇函数
此时(1-2x)/(1+2x)＞0
∴(1-2x)×(1+2x)＞0
∴(2x-1)×(1+2x)＜0
∴-½＜x＜½
定义域为﹙-½，½﹚