Question

双曲线C与椭圆x2/8+y2/4=1有相同的焦点直线y=√3 x为C的一条渐近线 1) 求双曲线的方程. 2) 过点P(0 , 4)的

双曲线C与椭圆x2/8+y2/4=1有相同的焦点直线y=√3 x为C的一条渐近线
1) 求双曲线的方程.

2) 过点P(0 , 4)的直线与双曲线交于A 、B两点, 交X轴于Q点(Q与C的顶点不重合)

当向量PQ=λ1向量QA+λ2向量QB且λ1+λ2=－8/3时,求Q点坐标

Answer 1

：（Ⅰ）设双曲线方程为 x2a2-y2b2=1
由椭圆 x28+y24=1
求得两焦点为（-2，0），（2，0），
∴对于双曲线C：c=2，又 y=3x为双曲线C的一条渐近线
∴ ba=3解得a2=1，b2=3，
∴双曲线C的方程为 x2-y23=1
（Ⅱ）由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2）
则 Q(-4k，0)
∵ PQ→=λ1QA→，
∴ (-4k，-4)=λ1(x1+4k，y1)．
∴ λ1=-4kx1+4k=-4kx1+4
同理λ2=- 4kx2+4，
所以 λ1+λ2=-4kx1+4-4kx2+4=-83．
即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）
又y=kx+4以及
x2-y23=1
消去y得（3-k2）x2-8kx-19=0．
当3-k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k2≠0．
由韦达定理有：
x1+x2=8k3-k2
x1x2=-193-k2
代入（*）式得k2=4，k=±2
∴所求Q点的坐标为（±2，0）．