Question

在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点M是AD的中点。

在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点M是AD的中点。点E是边AB上的一动点。连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线BC的延长线于点G，连接EG，交边DC于点Q。设AE的长为x，三角形EMG的面积为y。
（1）求∠MEG的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）线段MG的中点记为点P，连接CP，若▲PGC~▲EFQ，求y的值。

Answer 1

你好！

(1)过M作MN⊥BC于N
则∠AME+∠EMN=90°
∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
又∠A=∠MNG=90°
∴△AME∽△NMG
tan∠MEG = MG/ME = MN/AM = 4

(2)由(1)得MG=4ME
∴S(△EMG) = 1/2 * ME * MG = 2ME² = 2(x²+1)
∵G在BC延长线上
∴NG=4x > NC=1 即 x > 1/4
又E在AB上，∴x≤4
故 1/4 < x ≤ 4

(3)过P作PH⊥BG于H，过E作ER⊥CF于R
∵P是中点
∴PH=1/2 MN =2
∵△PGC∽△EFQ
且PH=ER=2【对应高相等】
∴△PGC≌△EFQ

∴FQ=CG=4x-1
QD = FQ-FD = 4x-1-x = 3x-1
CQ = 4 - QD = 5-3x

又△GCQ∽△GBE
∴GC/GB = CQ/BE
(4x-1) / (4x+1) = (5-3x) / (4-x)
解得 x = (3√2)/4

∴y= 2(x²+1) = 17/4

Answer 2

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