Question

高中数学 高手进

三角形oab 角aob=150度 o到ab距离是5. 求labl长度的最小值

Answer 1

令AB=c OA=b OB=a
由题意得 根据余弦公式COSAOB= (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
cos150=(a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
又根据面积公式S=1/2absin150=1/2*5*c
得ab=10c
cos150=(a^2 + b^2 - c^2) / 20c
c=10√3+（a²+b²）/c
有因为要c最小所以a²+b²要最小为2ab=20c
所以c=20+10√3

Answer 2

令∠AOD=β，则∠BOD=150°-β，
AD=ODtanβ，BD=ODtan(150°-β)
AB=AD+DB
= ODtanβ+ODtan(150°-β)
= OD[tanβ+tan(150°-β)]
= 5[tanβ+tan(150°-β)]
= 5 { sin[β+(150°-β)] / [cosβcos(150°-β)] }
= 5 sin150° / [cosβcos(150°-β)]
= 5 sin150° / { 1/2[cos (β+150°-β) +cos (β-150°+β)]}
= 10 sin150° / { cos 150° +cos (2β-150°)}
当β=75°时，分母[cos 150° +cos (2β-150°)}取最大值[cos 150° +cos 0°)]
此时ABmin = 10 sin150° / (cos 150° +1) = 10*1/2 / (-√3/2+1)
= 10/(2-√3) = 10(2+√3)/(4-3) = 10(2+√3）

Answer 3

解:
可设|AB|=z. |OA|=x, |OB|=y
[[1]]
由三角形面积公式可得
S=(1/2)xysin150º=(xy)/4
S=(1/2)5z
∴(5/2)z=(xy)/4
∴xy=10z
[[2]]
由余弦定理可得
-(√3)/2=cos150º=(x²+y²-z²)/(2xy)
∴x²+y²-z²=-(√3)xy
∴z²-(√3)xy=x²+y²≥2xy
等号仅当x=y时取得
∴z²≥(2+√3)xy
结合xy=10z可得
z≥10(2+√3)
∴|AB|min=10(2+√3)

Answer 4

这道题的关键在于那个150度角是怎么分配。

不妨作垂线od垂直于ab，设角oad=x, 则角obd=150-x。
ab=( 5/tanx ) + ( 5/tan(150-x) ).
整理，得，ab=5*（1+(tanx）^2 )/(tan x-3).
令t=tanx，则t>0; 且ab=5*(1+t^2)/(t-3)
求最值，可对t求导，得：ab'=(t^2-2√3t-1)/((t-√3)^2).
令上式等于0，得t=2+√3时ab取最小值，为20+10√3。

解这类题目关键是要看清楚解题切入口在哪里，看清楚了就不难了。。。。
希望对楼主有帮助。^-^

Answer 5

labl长度的最小值=10Tan75 = 10(2+√3）

Answer 6

o到ab距离是5
tan25°=5/(1/2ab)
ab=10/tan25°