Question

已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若OA=OB，且△AOB的垂心恰是次抛物线的焦点，则直线AB

的方程是 ）

Answer 1

|AO|=|BO|时，AB关于x轴对称设A（x1,y1) B(x1,-y1)
焦点F(p/2,0)为△AOB的垂心
AF⊥OB
则kAF*kOB=-1
[y1/(x1-p/2)]*(-y1/x1)=-1
y1^2=x1^2-p/2x1
而y1^2=2px1
则2px1=x1^2-p/2x1 x1=5p/2
所以直线AB x=5p/2

Answer 2

依据抛物线y^2=2px的对称性知，当|AO|=|BO|时，AB关于x轴对称。即，x轴垂直平分AB。
因为A、B在抛物线上，所以：设A(a^2/2p,a^2)，则：B(a^2/2p,-a^2)
则，OB所在直线的斜率Kob=[0-(-a^2)]/[0-(a^2/2p)]=-2p
则，过A点垂直于OB的直线AC的斜率Kac=-1/Kob=1/(2p)
那么，直线AC的方程为：
y-a^2=(1/2p)[x-(a^2/2p)]
即：y=(1/2p)x+a^2-(a^2/4p^2)
该直线过抛物线的焦点(p/2,0)，代入上式，得到：
0=(1/2p)(p/2)+a^2-(a^2/4p^2)
===> 0=(1/4)+a^2-(a^2/4p^2)
===> 0=p^2+4p^2*a^2-a^2
===> a^2=p^2/(1-4p^2)
所以，A、B两点的横坐标为x=a^2/2p=[p^2/(1-4p^2)]/(2p)
=p/(2-8p^2)
所以，直线AB的方程为：x=p/(2-8p^2)

Answer 3

抛物线焦点F坐标为（p/2, 0)，因为OF是△ABO的垂心，所以，OF的延长线垂直于AB，所以，AB‖y轴
设点A坐标为（x, y), 则点B坐标为（x, -y)
直线AF⊥OB，
AF的斜率为：y/(x-p/2)
OB的斜率为：-y/x
因为：直线AF⊥OB，所以，y/(x-p/2)=x/y
得，y²=x²-px/2，把y²=2px代入,得，
2px=x²-px/2, 即：x²-5px/2=0，即：x(x-5p/2)=0
解得，x=0（舍去）,或，x=5p/2
所以，直线AB的方程为：x=5p/2