Question

如图,在四边形ABCD中,已知AB垂直AD,BD垂直DC，且BD平方=AB*BC。求证BD*AD=AB*DC

图差不多是这样

Answer 1

设AB=a AD=b BD=c DC=d BC=e
由条件得a2+b2=c2=ae
c2+d2=e2
所以d2=e2-ae
b2=ae-a2
所以a2*d2=a2*(e2-ae)=a2*e2-a3*e
b2*c2=(ae-a2)*ae=a2*e2-a3*e
a2*d2=b2*c2
所以ad=bc 即BD*AD=AB*DC

Answer 2

证明：
∵AB⊥AD，BD⊥DC
∴∠BAD=∠BDC=90º
∵BD²=AB×BC
∴BD/AB=BC/BD
∴Rt⊿ABD∽Rt⊿DBC【对应直角边和斜边成比例的直角三角形相似】
∴BD/AB=DC/AD
转化为：BD×AD=AB×BC

Answer 3

∵AB⊥AD，BD⊥DC，
∴△ABD和△DBC为直角三角形；
又∵BD²=AB×BC
∴BD/AB=BC/BD（斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似）
∴△DBC∽△ABD
∴DC/AD=BC/BD=BD/AB
∴BD*AD=AB*DC