Question

已知双曲线的中心在坐标原点，焦点F1F2在坐标轴上，离心率为根号2，且过点M（3，-根号5）

（1）求双曲线方程；
（2）若点N（根号6，M）在双曲线上，求证：NF1⊥NF2；
（3）求三角形F1NF2的面积。

Answer 1

1、
e=c/a=√2
∴c²=2a²，
∴b²=c²-a²=a²，即渐近线：y=±x
又∵双曲线过点M(3，-√5) ，M在y=-x上方，在y=x下方
∴焦点在x轴
∴设x²/a² - y²/b²=1
把M(3，-√5)代入得a²=b²=4
∴x²/4 - y²/4=1

2、
求得M=±√2
∴N(√6，±√2)
c=√2a=2√2
①当N(√6，√2)
向量F1N=(√6+2√2，√2)，向量F2N=(√6-2√2，√2)，
向量F1N·向量F2N=6-8+2=0
∴NF1⊥NF2
②同上

3、
S△F1NF2=(1/2)×|F1F2|×|M|=(1/2)×4√2×√2=4

Answer 2

套公式的啊