Question

如图,在Rt△ABC中,以直角边AB为直径的圆O交斜边于D，OE平行BC交AC于E。求证：(1)DE是圆O的切线

(2)OE是Rt△ABC的中位线

Answer 1

证明
（1）DE与半圆O相切．
证明：连接OD、OE．
∵O、E分别是BA、BC的中点，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAC．
∴∠BOE=∠EOD．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△OBE≌△ODE．
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切．
（2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC
∴Rt△ABD∽Rt△ABC
∴ AB/AC=AD/AC，即AB²=AD•AC∴AC= AB²/AD
∵AD，AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，
∴解方程x²-10x+24=0得：x1=4，x2=6．
∵AD＜AB∴AD=4 AB=6∴AC=9，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=9．
∴BC=√（AC²-AB²） =√（81-36） =3√5