Question

已知抛物线C1：y1=1/2x²-x+1，点F（1,1） （1）求抛物线C1的顶点的坐标。

（2）①若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于B，求证：1/AF+1/BF=2
②取抛物线C1上任意一点p(xp,yp)(0<x<1),连接PF并延长，交抛物线C1于Q（xQ,yQ)，是判断1/PF+1/QF=2是否成立？请说明理由。
（3）将抛物线C1，作适当的平移，得抛物线C2：y2=1/2（x-h)²，若2<x≤m时，y2≤x恒成立，求m的最大值。

Answer 1

1∵x= -b/2a=1， 4ac-b2/4a=1/2
∴顶点坐标为（1，1/2）．
2根据题意得：点A（0，1），
∵F（1，1），
∴AB∥x轴，得AF=BF=1，
∴ 1/AF+ 1/BF=2；
2如图，过点P（xp，yp）作PM⊥AB于点M，
则FM=1-xp，PM=1-yp，（0＜xp＜1），
∴Rt△PMF中，由勾股定理，
得PF2=FM²+PM²=（1-xp）²+（1-yp）²，
又点P（xp，yp）在抛物线C1上，
得yp= 1/2（xp-1）²+ 1/2，即（xp-1）²=2yp-1，
∴PF²=2yp-1+（1-yp）²=yp²，
即PF=yp，
过点Q（xQ，yQ）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
同理可得：QF=yQ，
∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF，
∴ PF/QF=PM/QN，
这里PM=1-yp=1-PF，QN=yQ-1=QF-1，
∴ PF/QF=1-PF/QF-1，
即 1/PF+1/QF=2；
3令y3=x，
设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0＜x0′，
∵抛物线C2可以看作是抛物线y= 1/2x²左右平移得到的，
随着抛物线C2向右下不断平移，x0，x0′的值不断增大，
∴当满足2＜x≤m，y2≤x恒成立时，m的最大值在x0′处取得．
当x0=2时，所对应的x0′即为m的最大值．
将x0=2代入 1/2（x-h）²=x，
1/2（2-h）²=2，
h=4或h=0（舍去），
∴y2= 1/2（x-4）2．
由y2=y3，得 1/2（x-4）²=x，
解得：x0=2，x0′=8，
∴m的最大值为8．

Answer 2

(1)1/2x²-x+1=1/2(x-1)²+1/2 顶点为(1,1/2)
(2) 若抛物线C1与y轴的交点为A, x＝0时y=1 ,A点坐标为(0,1)
点F（1,1） AF所在直线为y=1
y=1/2x²-x+1=1 解得x=0或2 ，B点坐标为(2,1)
AF=1 BF=1 1/AF+1/BF=2
(3)y2=1/2（x-h)² y3＝y2－x＝1/2（x-h)² －x 在2<x≤m时恒小于等于0
1/2（x-h)² －x =0的两根为 h+1/2加减根号（h+1/4）
所以 h+1－根号（2*h+1）<=2<=m<=h+1+根号（2h+1）
h+1－根号（2h+1）<2 得到 -1/2<h<4
m<=h+1+根号（2h+1）<4+1+根号（2*4+1）=8

Answer 3

1∵x= -b/2a=1， 4ac-b2/4a=1/2
∴顶点坐标为（1，1/2）．
2根据题意得：点A（0，1），
∵F（1，1），
∴AB∥x轴，得AF=BF=1，
∴ 1/AF+ 1/BF=2；
2如图，过点P（xp，yp）作PM⊥AB于点M，
则FM=1-xp，PM=1-yp，（0＜xp＜1），
∴Rt△PMF中，由勾股定理，
得PF2=FM²+PM²=（1-xp）²+（1-yp）²，
又点P（xp，yp）在抛物线C1上，
得yp= 1/2（xp-1）²+ 1/2，即（xp-1）²=2yp-1，
∴PF²=2yp-1+（1-yp）²=yp²，
即PF=yp，
过点Q（xQ，yQ）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
同理可得：QF=yQ，
∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF，
∴ PF/QF=PM/QN，
这里PM=1-yp=1-PF，QN=yQ-1=QF-1，
∴ PF/QF=1-PF/QF-1，
即 1/PF+1/QF=2；
3令y3=x，
设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0＜x0′，
∵抛物线C2可以看作是抛物线y= 1/2x²左右平移得到的，
随着抛物线C2向右下不断平移，x0，x0′的值不断增大，
∴当满足2＜x≤m，y2≤x恒成立时，m的最大值在x0′处取得．
当x0=2时，所对应的x0′即为m的最大值．
将x0=2代入 1/2（x-h）²=x，
1/2（2-h）²=2，
h=4或h=0（舍去），
∴y2= 1/2（x-4）2．
由y2=y3，得 1/2（x-4）²=x，
解得：x0=2，x0′=8，
∴m的最大值为8．

Answer 4

附个图

Answer 5

前面两位回答了······呵呵