Question

高数：微分方程组{dx/dt=x+7y怎么解？答案要详细点哦！小女在此先谢谢各位大神了！ {dy/dt=4x-2y

Answer 1

刚刚看漏了后面那个方程，不好意思。
dx/dt=x+7y①
dy/dt=4x-2y②
②÷①得dy/dx=(4x-2y)/(x+7y)=[4-2(y/x)]/[1+7(y/x)] ③
方程③这是个齐次方程。
解法如下：
令u=y/x
则y=ux，dy/dx=u+x*du/dx
于是方程③变为:u+x*du/dx=(4-2u)/(1+7u)
分离变量得到：[(1+7u)/(-7u²-3u+4)]du=(1/x)dx
两边同时积分得：(-5/11)ln|-7u+4|-(6/11)ln|u+1|+c=ln|x| ④
然后将u=y/x代入④式即可得到答案：(-5/11)ln|7(y/x)-4|-(6/11)ln|(y/x)+1|+c=ln|x|

追问

①式除以②式的方法我想过，可答案是｛x=C1*e^(-3t)+C2*e^(2t) ,不知道你给的答案能否化成这样？麻烦你了O(∩_∩)O {y=-4C1*e^(-3t)+C2*e^(2t)

追答

x=C1*e^(-3t)+C2*e^(2t)
y=-4C1*e^(-3t)+C2*e^(2t)
楼主，要想得到这个结果的话。原方程组
dx/dt=x+7y①
dy/dt=4x-2y②
中的7要改1刚好可以得到你说的结果，楼主你确定你的题目和结果都正确么？

Answer 2

解微分方程组：dx/dt=x+7y；dy/dt=4x-2y.
解：(dy/dt)/(dx/dt)=dy/dx=(4x-2y)/(x+7y)=[4-2(y/x)]/[1+7(y/x)]........(1)
令y/x=v，即y=vx，故dy/dx=v+x(dv/dx)，代入(1)式得;
v+x(dv/dx)=(4-2v)/(1+7v)
即有x(dv/dx)=(4-2v)/(1+7v)-v=(4-3v-7v²)/(1+7v)
分离变量得(1+7v)dv/(4-3v-7v²)=dx/x
(1+7v)dv/(4-7v)(1+v)=dx/x
两边积分之得∫(1+7v)dv/(4-7v)(1+v)=lnx-(C/11)
上式左边=∫[1/(4-7v)-1/(1+v)]dv=∫[(35/11)/(4-7v)-(6/11)/(1+v)]dv
=-(5/11)∫d(4-7v)/(4-7v)-(6/11)∫d(1+v)/(1+v)
=-(5/11)ln︱4-7v︱-(6/11)ln︱1+v︱
故得-(5/11)ln︱4-7v︱-(6/11)ln︱1+v︱=lnx-(C/11)
将v=y/x代入即得通解为：5ln︱(4x-7y)/x︱+6ln︱(x+y)/x︱=-11(lnx)+C