Question

一个扇形OAB的周长为20,求扇形半径，圆心角各取何值时，扇形面积最大

Answer 1

设半径为R，圆心角为α
所以20=2R+1/2Rα
又因为 S=1/2R平方α
根据 基本不等式
S=1/2R平方a<等于25

Answer 2

设扇形的半径为r，弧长为l，l+2r=20
l=20-2r（0＜r＜10）
扇形的面积S= 1/2lr，得S= 1/2（20-2r）r=-r²+10r=-（r-5）²+25
仅当r=5时S有最大值25
l=20-2×5=10，α= l/r=2所以当α=2rad时扇形的面积取最大值

Answer 3

设半径是r，圆心角是a（弧度）
则圆弧长=ra
所以周长=ra+2r=20
a=(20/r)-2

面积=πr^2*(a/2π)=ar^2/2=[(20/r)-2]*r^2/2=10r-r^2=-(r-5)^2+25
所以r=5时，面积有最大值
此时a=(20/r)-2=2(rad)