Question

如图,平面直角坐标系中,直线y=4/3x+8与两坐标轴相交于A、B,点D为AB的中点。已知点C的坐标为（5，0）连接CD

如图,平面直角坐标系中,直线y=4/3x+8与两坐标轴相交于A、B,点D为AB的中点。已知点C的坐标为（5，0）连接CD点E为CD中点

Answer 1

(1)由直线y=4/3x+8与坐标轴交于点A、B知A,B两点坐标分别为 A(0,8),B(-6,0)
又因为直线AC与x轴交于C，所以由 A(0,8),C(5,0)可以求得直线AC方程为
y= -8/5x+8.
(2)因为D是AB中点，所以D点坐标为 D(-3,4). 又E是CD中点，所以E点坐标为E(1,2)，因此线段OE的长为根号(1^2+2^2)=根号5，线段EC的长为根号[(5-1)^2+(0-2)^2]=2根号5，而线段OC的长为5，所以OE^2+EC^2=OC^2,因此三角形OEC是直角三角形，且OE垂直EC,亦即OE垂直CD.
(3)连OD.由上题结论，OE垂直CD,又因为E为CD中点，所以三角形OED全等于三角形OEC，因此OD=OC。从而角ODC=角OCD，角DOB=角ODC+角OCD=2α；又因为D直角三角形ABO斜边AB上的中线，所以OD=DA=DB,从而角DAO=角DOA=β，
由此可知2α＋β=角DOB+角DOA=角BOa=90度，即 2α＋β=90度，从而β=90度-2α.

Answer 2

1)由直线y=4/3x+8与坐标轴交于点A、B知A,B两点坐标分别为 A(0,8),B(-6,0)
又因为直线AC与x轴交于C，所以由 A(0,8),C(5,0)可以求得直线AC方程为
y= -8/5x+8.
(2)因为D是AB中点，所以D点坐标为 D(-3,4). 又E是CD中点，所以E点坐标为E(1,2)，因此线段OE的长为根号(1^2+2^2)=根号5，线段EC的长为根号[(5-1)^2+(0-2)^2]=2根号5，而线段OC的长为5，所以OE^2+EC^2=OC^2,因此三角形OEC是直角三角形，且OE垂直EC,亦即OE垂直CD.
(3)连OD.由上题结论，OE垂直CD,又因为E为CD中点，所以三角形OED全于三角形OEC，因此OD=OC。从而角ODC=角OCD，角DOB=角ODC+角OCD=2α；又因为D直角三角形ABO斜
由此可知2α＋β=角DOB+角DOA=角BOa=90度，即 2α＋β=90度，从而β=90度-2α.

Answer 3

(1)由直线y=4/3x+8与坐标轴交于点A、B知A,B两点坐标分别为 A(0,8),B(-6,0)
又因为直线AC与x轴交于C，所以由 A(0,8),C(5,0)可以求得直线AC方程
y= -8/5x+8.
因为D是AB中点，所以D点坐标为 D(-3,4). 又E是CD中点，所以E点坐标为E(1,2)，因此线段OE的长为根号(1^2+2^2)=根号5，线段EC的长为根号[(5-1)^2+(0-2)^2]=2根号5，而线段OC的长为5，所以OE^2+EC^2=OC^2,因此三角形OEC是直角三角形，且OE垂直EC,亦即OE垂直CD.
连OD.，OE垂直CD,又因为E为CD中点，三角形OED全等于三角形OEC，因此OD=OC。从而角ODC=角OCD，角DOB=角ODC+角OCD=2α；又因为D直角三角形ABO斜边AB上的中线，所以OD=DA=DB,从而角DAO=角DOA=β，
2α＋β=角DOB+角DOA=角BOa=90度， 2α＋β=90度，从而β=90度-2α.

Answer 4

(1)由直线y=4/3x+8与坐标轴交于点A、B知A,B两点坐标分别为 A(0,8),B(-6,0)
又因为直线AC与x轴交于C，所以由 A(0,8),C(5,0)可以求得直线AC方程为
y= -8/5x+8.
(2)因为D是AB中点，所以D点坐标为 D(-3,4). 又E是CD中点，所以E点坐标为E(1,2)，因此线段OE的长为根号(1^2+2^2)=根号5，线段EC的长为根号[(5-1)^2+(0-2)^2]=2根号5，而线段OC的长为5，所以OE^2+EC^2=OC^2,因此三角形OEC是直角三角形，且OE垂直EC,亦即OE垂直CD.
(3)连OD.由上题结论，OE垂直CD,又因为E为CD中点，所以三角形OED全等于三角形OEC，因此OD=OC。从而角ODC=角OCD，角DOB=角ODC+角OCD=2α；又因为D直角三角形ABO斜边AB上的中线，所以OD=DA=DB,从而角DAO=角DOA=β，
由此可知2α＋β=角DOB+角DOA=角BOa=90度，即 2α＋β=90度，从而β=90度-2α

Answer 5

解：
（1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y= x2+bx+c，
得 ，
解得 ；
∴该抛物线的解析式为y= x2- x；
（2）点C在该抛物线上．
理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设AC交OB于点E
∵点B在直线y=2x上，
∴B（5，10）
∵点A、C关于直线y=2x对称，
∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10
又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB=5
∵SRt△OAB= AE•OB= OA•OB
∴AE=2 ，∴AC=4 ；
∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAD=∠OBA；
又∵∠CDA=∠CAB=90°，
∴△CDA∽△OAB
∴ = = ；
∴CD=4，AD=8；
∴C（-3，4）
当x=-3时，y= ×9- ×（-3）=4；
∴点C在抛物线y= x2- x上；
（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切；
过点P作PF⊥x轴于点F，连接O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H；
∴CD‖O1H‖BA
∴C（-3，4），B（5，10）
∵O1是BC的中点，
∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH= AD=4，
∴OH=OA-AH=1，同理可得O1H=7，
∴点O1的坐标为（1，7）
∵BC⊥OC，∴OC为⊙O1的切线；
又∵OP为⊙O1的切线，
∴OC=OP=O1C=O1P=5
∴四边形OPO1C为正方形，
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°，
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD，PF=OD，
∴P（4，3）
设直线O1P的解析式为y=kx+b（k≠0），
把O1（1，7）、P（4，3）分别代入y=kx+b，
得 ，
解得 ；
∴直线O1P的解析式为y= x+ ；
若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为（m，n），
则有n= m+ ，n=y= m2- m
∴ m+ = m2- m，
整理得m2+3m-50=0
解得m= ，
∴点Q的横坐标为 或 ．