Question

直线L及异侧两点A B 求作直线L上一点P，使P与A B 两点距离之差最大

我知道答案，就是不知道为什么~
希望大家帮忙，谢谢~~
我知道这个:
A'P与BP的差肯于A'B,所以A'B就是使P与A B 两点差的最大值
只是不知道为什么这个是最大的差~

Answer 1

直线L及异侧两点A B 求作直线L上一点P，使P与A B 两点距离之差最大

作A点关于L的对称点A1，连接A1B，并延长交L的一点就是所求的P点。

这样就有：PA=PA1，P点与A，B的差PA-PB=PA1-PB=A1B。

下面证明A1B是二者差的最大值。

首先在L上随便取一个不同于P点的点P1，这样P1A1B就构成一三角形，且P1A1=P1A。

根据三角形的性质，二边之差小于第三边，所以有：

P1A1-P1B<A1B，即：P1A-P1B<A1B。

这就说明除了P点外，任何一个点与A，B的距离差都小于A1B。反过来也说明P点与A，B的距离差的最大值是A1B。

所以，P点就是所求的一点。

Answer 2

做A关于L的对称点A'连接A'B,交直线与P，即为所求点
因为两边之差小于第三边，所以，如果A'BP是一个三角形的话，那么A'P与BP的差肯定小于A'B,所以A'B就是使P与A B 两点距离之差最大的线段

Answer 3

直线L及异侧两点A
B
求作直线L上一点P，使P与A
B
两点距离之差最大
作A点关于L的对称点A1，连接A1B，并延长交L的一点就是所求的P点。
这样就有：PA=PA1，P点与A，B的差PA-PB=PA1-PB=A1B。
下面证明A1B是二者差的最大值。
首先在L上随便取一个不同于P点的点P1，这样P1A1B就构成一三角形，且P1A1=P1A。
根据三角形的性质，二边之差小于第三边，所以有：
P1A1-P1B<A1B，即：P1A-P1B<A1B。
这就说明除了P点外，任何一个点与A，B的距离差都小于A1B。反过来也说明P点与A，B的距离差的最大值是A1B。
所以，P点就是所求的一点。

Answer 4

分以下几种情况：
（1）当A,B在直线L的同侧：图（1）
1.如果AB的连线与L相交于点P,则P点即为所求。
此时，AP-AB=AB为最大值。
特别地，若AB⊥L时，垂足P即为所求。
证明：若C是L上异于P的点，连结AC,BC.
在△ABC中，AC-BC＜AB.
2.如果AB‖L时，无解。
（2）当A,B在在线L的异侧：图（2）
1.设D是B关于L的对称点，连AD，若AD与L
相交于P,则P即为所求。此时，AP-BP=AD为最大值。
证明同上。
特别地，若AB⊥L时，垂足P即为所求。
2.若AB不垂直于L,但A,B到直线L的距离相等，则无解。http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/2cf29bc4c86f03c138db4938.html