Question

线性代数问题，急急急，好的追分~！

http://hi.baidu.com/palagin/album/item/d278a5ca7bcb0a46eda46b726b63f6246a60af07.html#
选择第五题，ABD都解释下
填空第二

Answer 1

有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相同
A：由于r<=m，r<=n，若r=m，则n>=m，此时增广矩阵的秩必然也是m，不会大于m，因为方程只有m个，因此方程组有解；
B：若m=n时，此时不清楚r是多少，有可能r<m，那样的话，增广矩阵的秩有可能大于r，因此可能无解；
D：同上，此时增广矩阵的秩可能大于r。

举个BD的例子：
x+y+z=1
2x+2y+2z=2
x+y+z=2
方程组显然无解：
m=n
r=1<n

Answer 2

A 对 系数矩阵秩为方程个数m，则增广矩阵秩也为m,因两矩阵行数一样都为m,所以AX=b必有解
B系数矩阵秩为未知数个数n,反例 x+y=0,x-y=0 x+y=1 有矛盾无解 错
C m=n只能说明方程个数与未知数个数一样 不能说明有解 错
D r<n 不能保证有解 如x+y=1,x+y=2 系数矩阵秩为1小于未知数个数2 但方程组矛盾无解 错

R(A)=n-1 说明AX=0，有无数解 ，但基础解系只有一个向量，只要找到这个解就可以了
因每行元素之和为零 ，所以就相当于 A与列向量（1,1,……，1) 乘积为零，说明（1,1,……，1) 就是解

Answer 3

选择题
A： r=m说明A行满秩，右边再加一个b的话还是行满秩。满足R[A|b ] = R（A），说明有解

B：A列满秩不能保证有唯一解，可能无解，也可能有无穷多解
D：同样不能保证。参照[A|b ] = b。加一个b在右边，得出的R不定

填空题：
根据条件可知 A(1,1……1）^k= 0
所以(1,1……1）^k为方程组的一个解
又R(A)=n-1
所以基础解系个数为n-(n-1)=1
即通解为k(1……1）^k