Question

高等数学（矩阵）

①(1 1 0 1)的n次方等于？ ②若A²＝o，则（I－A）的－1次方等于？ ③设矩阵A³＝o，则（A＋I）的－1次方等于？ ④若矩阵（1 0 n 1)，则A的K次方等于？ ⑤若A为三阶方阵，且AAT(转置矩阵)＝7i，则| A |＝？ 会的高手解一下，我是个新手，所以希望每道题都详细的讲一下 ，在这里先谢谢了
我说下答案吧 ①1n01②i＋A③A²－A＋i④10kn1⑤±7的2/3次方

Answer 1

1、可以把矩阵(1 1 0 1)分解成单位阵(1 0 0 1)和(0 1 0 0)之和，而矩阵(0 1 0 0)的2次方以上均为零。根据x+y的n次方的二项式公式，可得(1 1 0 1)的n次方等于(1 n 0 1)
2、3、这两道题中的-1次方是否是指矩阵的逆？
4、这题类似于第一题，很容易就可得到(1 0 kn 1)
5、不知道你这里的7i中的i是否是指单位矩阵，若是的话。根据|AB|=|A||B|，而矩阵的转置不改变行列式的值。因此有|A|的平方=7，那么|A|的值为7的1/2次方。

2、3两道题有点难度，我忘记怎么解题了

Answer 2

行初等变换法,求伴随矩阵法
行初等变换法比较常用，我说明一下其方法以及方法的来源和证明过程。
行初等变换法
:
因为矩阵A可逆，则逆矩阵A-1可逆（AA-1=E
det(AA-1)=detA*detA-1=detE=1
则detA-1!=0）矩阵A经过一系列的初等变换（包括行变换和列变换得到E(需要证明)
证明：（证明前说明一个问题：一个矩阵进行一次行变换相当于左乘一个m阶初等矩阵，进行一次列变换相当于右乘一个n阶初等矩阵（初等矩阵就是由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵（初等变换包括三种方式即：交换矩阵某两行，某两列或者将矩阵的某一行或某一列的k倍加到另一行或另一列去））那么即是p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E(并不是直接得到E,而是一个只与E和O有关的矩阵，但由于qn，pn的行列式都不为0，则得到的与和O有关的矩阵的行列式不为0，则该矩阵为E，这里说明A必须为n阶矩阵)p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E两边同时乘以pn，qn的逆矩阵）则得到A=pn-1*……p1-1*qn-1*……*q1-1）
，那么同理我们可以将A-1表示为A-1=G1*G2*……Gn，(G1、G2……Gn均为初等矩阵)也可以写成A-1=G1*G2*……Gn*E(因为一个矩阵乘以E还是原矩阵)两边同时右乘A,即A-1*A=G1*G2*……Gn*A,则E=G1*G2*……Gn*A,这就是说E经过一系列行初等变换（就是交换E的两行或者将E的某一行的K倍加到另一行去）得到A-1,而A经过与上面相同的行变换得到E,那么我们可以这样表示（A,E）~一系列行变换~（E,A-1），因此我们可以把A,E放在一起形成一个2n阶矩阵，在经过一系列行初等变换，当A变为E时，E变为A-1.

Answer 3

恩，真纠结啊