Question

在线等，高中数学立体几何

在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，做EF垂直PB交PB与点F求证（1）PB垂直与平面EFD（2）求二面角C-PB-D的大小

Answer 1

[[[1]]]]
BC⊥DC ]
BC⊥PD. ] ===>BC⊥平面PCD. ===> BC⊥DE.]
PD=CD ]
PE=CE ] ====>DE⊥PC ]===>DE⊥平面PBC. ===>DE⊥PB ]
FE⊥PB ]
===>PB平面EFD
[[[2]]]
不妨设PD=DC=2.
由上面结论:PB⊥平面EFD
∴PB⊥DF. 且PB⊥EF
∴由定义可知,∠DFE就是二面角C-PB-D的平面角.
可求得: DE =√2 EF=(√6)/3, DF=(2√6)/3
在⊿DEF中,由余弦定理可得
cos∠DFE=1/2
∴∠DFE=60º
即二面角C--PB--D的大小60º

Answer 2

（1）∵四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD垂直底面ABCD，PD=DC，∴PD=AD=BC，设PD=a，则PA=PC=√2a，PB=√3a，PB²=PC²+BC²，△PCB为直角三角形，∵EF⊥PB，∴△PCB∽△PFE，PF/PC=PE/PB，PF=√2a*√2a/2√3a=√3a/3，cos∠DPF=PD/PB=√3/3，余弦定理得：DF²=a²+a²/3-2a²/3=2a²/3，PF²=a²/3，则DF²+PF²=a²=PD²，△PFD为直角三角形，PF⊥DF，∴PB⊥平面EFD；
（2）∵EF⊥PB，DF⊥PB，∴∠DFE=二面角C-PB-D，∵EF/BC=PE/PB，∴EF=√6a/6，∵DE=√2a/2，∴DE²=a²/2=a²/6+2a²/3-2a²cos∠DFE/3，cos∠DFE=1/2，∠DFE=60

Answer 3

1，分析一下我的思路：首先要知道证明一直线与平面垂直，一定要找到这个平面内的两条非平行的直线与它垂直。显然PB⊥EF,现在要再考虑DF或者DE是否与PB垂直。看看题目的条件：PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC，ABCD正方形，即是BC⊥CD，所以BC⊥平面PDC，所以BC⊥平面PDC任意一条直线，所以BC⊥DE；PCD等腰三角形，E又是中点，所以DE⊥PC，所以，DE⊥平面PBC，所以PB⊥EF，问题得证。
2，二面角一定要同时垂直与两面交线的才算二面角，根据第一问，显然<DFE就是了，根据各线的长度关系就可以算出来了，自己慢慢算吧。

Answer 4

我的方法较麻烦，简单给你说一下吧，由已知可知BC⊥CD，BC⊥PD∴BC⊥面PDC，∴BC⊥DE 又∵PD=DC，∴DE⊥PC∴DE⊥面PBC∴DE⊥PB又∵EF⊥PB，∴PB⊥面EFD