Question

一道高中几何证明题,要详细过程.

在正四棱锥V-ABCD中,E为VC中点,正四棱锥底面边长为2,高为1.求异面直线BE与VA所成角的余弦.

Answer 1

正四棱锥V-ABCD中，连接AC，过V做底面垂线，交AC于O，O为底面正方形中心
在平面VAC内，连接EO，O为中心，所以EO为中位线，所以EO//AV,
那么∠BEO就是异面直线BE与VA所成角，
在三角形AVC中，AC=2√2 ,VO=1，AV=CV=√3利用正四棱锥性质易得，且BO=√2 ，BE=
利用EF中位线性质，知EO=√3 /2，
另外，BO⊥AC （正方形性质）BO⊥VO（棱锥高性质）
所以BO⊥平面VAC，所以BO⊥EO，所以三角形BEO为直角三角形，
其中两直角边EO=√3 /2，BO=√2,所以余弦值为BO/BE=√2 / (2+3/4)^(1/2)=(8/11)^(1/2)