Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．是否存在点P，是PB=PC？求出点P坐标。
解答第二问。

Answer 1

（1）直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，
所以：点B（3，0）、C（0，3），
抛物线y=-x²+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，
所以：C=3，
0＝－9+3b+3，
b＝2，
所以该抛物线所对应的函数关系式：y=-x²+2x+3；
（2）存在点P，使PB=PC；
直线BC的解析式为：y=－X+3,线段BC的中点Q(3/2,3/2)，
设过点Q且垂直于BC的直线解析式为y＝KX+m，则K=1，
m＝0，所以y＝3/2 X,
求出直线y＝3/2 X与y=-x²+2x+3的交点P即可，
所以P1(2，3），P2(-3/2，－9/4).

Answer 2

1）直线y=-x+3 与X轴的交点是B(3,0)，与Y轴的交点是C（0，3）
抛物线y=-x²+bx+c 经过点B，C
则有 c =3 b=2 所以该抛物线的解析式是 y=-x²+2x+3
2) 点P（x,y) 在抛物线上，设过点P且垂直于X轴的直线为 x=m ,那么它与X轴的交点M的坐标为
M(m,0)
因为BC所在直线的方程是 x+y=3，所以，x=m 和直线x+y=3的交点是N(m,3-m)
如果要满足PB=PC(题目是不是这样的，有怀疑，也许是PM=PN吧？）
那么，（x-3)²+y²=x²+(y-3)²
-6x+9=-6y+9 , 所以，x=y
点P在抛物线上，因此 x=-x²+2x+3
x²-x-3=0 解得 x1=1/2+√13/2 x2=1/2-√13/2 ,由此可得到两个纵坐标

如果是PM=PN
那么，P点的横坐标是 m, 纵坐标是 -m²+2m+3
于是 |-m²+2m+3|=|-m²+2m+3-3+m|
|-m²+2m+3|=|-m²+3m|
-m²+2m+3=-m²+3m 或者 -m²+2m+3=m²-3m
对于前者 m=3 不合题意
对于后者 2m²-5m-3=0 (2m+1)(m-3)=0
m=-1/2 或m=3,再舍去m=3
得m=-1/2 因此 -m²+2m+3=-1/4-1+3=7/4
于是，点P的坐标是（-1/2，7/4），此时有PM=PN