Question

什么是九点圆？九点圆有什么性质？

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Answer 1

三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆. 九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。

　九点圆具有许多有趣的性质，例如： 　　1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半； 　　2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点； 　　3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）； 　　4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。 　　5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。 　　九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。 　　设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 　　那么重心坐标为：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。