Question

(上限x，下限0)x∫f(t)dt + ∫f(t)tdt的导数

为什么是∫f(t)dt + xf(x) + xf(x)，怎么导出来的？
尤其是(上限x，下限0)∫f(t)tdt的导数怎么求的

Answer 1

解答见图片，从你的问题来看你对定积分的概念还不够了解，建议你多看看同济的《高等数学》教材，加深对定积分的理解。多做题目巩固~

Answer 2

(上限x，下限0)∫f(t)tdt的导数就是f(x) ,这是变上限积分 ----一个特殊的函数
如果f(x)连续 那么变上限积分 {∫ [0,x] f(t)tdt}’ = f(x)
举例 如果变上限积分和其他函数复合 是稍微麻烦一些的情形
如 {∫ [0,sinx] f(t)tdt}’=f(sinx) cosx ,这个时候外层就是变上限积分，内层是sinx
同理变下限积分 导数 {∫ [x,0] f(t)tdt}’ = - f(x)
估计你把这个求导规则忘了 ，这是在微积分基本定理中介绍的
至于 你说的题目中的函数积分 是变限积分与 x的简单组合 楼上已经求得非常清楚了

Answer 3

[ x∫[0,x]f(t)dt+∫[0,x]f(t)tdt ]'=∫[0,x]f(t)dt+xf(x)+f(x)x
设F(x)=∫f(x)dx ∫[0,x]f(t)dt=F(x)-F(0) x∫[0,x]f(t)dt=x[F(x)-F(0)]
[x∫[0,x]f(t)dt ]'=[ x[F(x)-F(0)] ]'=[F(x)-F(0)]+ x[F(x)-F(0)]'
=∫[0,x]f(t)dt +xF'(x)
=∫[0,x]f(t)dt +xf(x)
G(x)=∫f(x)xdx ∫[0,x]f(t)tdt=G(x)-G(0) [∫[0,x] f(t)tdt ]'= G'(x)=f(x)x

Answer 4

补一个公式∫[0,&(x)]f(t)dt的导数是f(&(x)){&(x)‘} 看的懂吧 还有就是题目是对x求导 所以第一个要用乘法的求导公式求