Question

什么叫特征根

Answer 1

求解一些数学问题（比如高中的数列、大学的矩阵、线性微分方程）的时候，我们可以按照某种格式写出它对应的一个多项式方程（比如二次、三次），这就是特征方程。特征方程的根叫特征根。求出特征根后还有后续的步骤。

Answer 2

定义
　　特征根法是解常系数线性微分方程的一种通用方法。 　　
特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。
　　r*r-p*r-q称为二阶齐次线性差分方程: a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程。
　　对微分方程：
　　设特征方程r*r-p*r-q=0两根为r1，r2。
　　1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
　　2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x)
　　3 若有一对共轭复根a±bi 　　y=e^ax*[c1cos(bx)+c2sin(bx)]
　　对差分方程：
　　1 若特征方程有两个不等实根r1,r2则a(n)=c1*r1^n+c2*r2^n 　　其中常数c1,c2由初始值a(0)=a,a(1)=b唯一确定。 　　(1) c1r1+c2r2=a; 　　(2) c1r1^2+c2r2^2=b
　　2 若特征方程有两个相等实根r1=r2=r 　　a(n)=(c1+nc2)r^n 　　其中常数c1,c2由初始值唯一确定。 　　(1) a=(c1+c2)r 　　(2) b=(c1+2c2)r^2
　　3 若特征方程有一对共轭复根a±bi=re^±iφ 　　a(n)=r^n*[c1cos(nφ)+c2sin(nφ)] 　　a(0)=c1 　　a(1)=r*[c1cosφ+c2sinφ] 　
　一类重特征根对方程解的简便解法
　　对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根λi(i=1,…,r)的重数是ni(≥1),对应的mi个初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此时多项式P(i)j(t)的次数小于等于Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的多项式P(i)j(t)次数的上界,使计算起来更加方便和有效.