Question

定义在[﹣1,1]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣1,0]时，f（x）=1/4的x次方－a/2的x次方（a∈R）

（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式
（2）求f（x）在[0,1]上的最大值

Answer 1

若a为负数，则(a/2)^(1/2)就没有意义。故条件"a∈R"改为"a>0"较为合适。
(1)当x∈[0，1]时，-x∈[﹣1,0]，所以f(-x)=(1/4)^(-x)- (a/2)^(-x)=4^x - (2/a)^x
又f(x)是奇函数，所以　f(x)=-f(-x)=-4^x+(2/a)^x
(2)当x∈[0，1]时，f'(x)=[(2/a)^x]ln(2/a)-(4^x)ln4
由于g(t)=(t^x)lnt，x∈[0，1]是关于t的增函数，
故当2/a≥4(即a≤1/2)时，f'(x)≥0，f(x)是增函数，最大值为f(1)=-4+2/a；
故当2/a<4(即a>1/2)时，f'(x)<0，f(x)是减函数，最大值为f(0)=-1+1=0。

Answer 2

1. 因为奇函数，所以在[0，1]上f（x）等于[﹣1,0]上的-f(-x)
所以在[0，1]上f（x）= - [(1/4)^(-x)-(a/2)^(-x)] = (2/a)^x - 4^x

2. 因为a《0无意义，所以a>0
0<a<1/2,函数单增，故最大值为f(1)=2/a-4
1/2<a,函数单减，故最大值为f(0)=0

Answer 3

f（x）在[0.1]上的解析式：f（x）=x，最大值1.