Question

求极限的一个方法问题

其中有一个极限方法是:lim(x趋向于?)[(1+a)^(1/a)*……]然后就有e，我想咨询一下，那个x趋向于？正无穷，常数，0都能用这种方法吗？其次，e的右上角的数是否是原本乘以(1/a)的"*……"？

另外，另一个求极限中，就是sinx可以等量代换成x，tanx也能，但有时不能这么做，请问前提条件是什么？

谢谢！

Answer 1

lim(x趋向于?)[(1+a)^(1/a)*……]
你的这个式子打错了，这个式子里a是做为常量出现的。:lim(x趋向于?)(1+x）^（）。可以这样来理解，这个式子其实是2个重要极限中lim（1+x）^(1/x)，x→0。的变形使用，关键点不在x趋向于什么，而在于第一个括号中也就是底数的极限是1，第二个括号中也就是指数部分趋于∞，简单的说就是1的无穷大次方，只要是这种类型的题目基本上就是要用e的次方形式来表示极限结果了。至于e的右上角表示的是将底数化为（1+f（x））指数变为（1/f（x））的形式后剩余的部分。

无穷小代换，不管是高数还是数分的教材中都是这样来的：设α~α′，β~β′，且limβ′/α′存在，则有limβ/α=limβ′/α′。你看这条定理就知道，等价代换是不能在加减法中使用的，他实质上是在除法中使用的。为什么乘法中也能使用呢？是因为你在等价代换的时候，实际上是将分子和分母都进行了等价代换，只是没有变的分子或者分母与其自身等价无穷小，看上去好像没有等价代换。
所以等价代换只能在乘除法中使用。

Answer 2

1、问题的关键不在于x趋于什么，关键是a趋于什么？不论x趋于什么，都必须使得a-->0，才能用这个结论。

2、我先笼统点和你说吧，等价无穷小代换必须是sinx或tanx与其它函数之间是乘除关系才可以用，如果涉及加减运算就不要用了（记住这个结论基本上就够用了）。

例如：lim sinx(1-cosx)/x^3这个极限中sinx可以换成x，因为是乘除关系。
lim(x-sinx)/x^3这个就不能换了，因为sinx涉及加减运算了。

如想得到详细解答，请追问，这个一句话解释不清，要用Taylor公式来解释。