Question

如图在平面直角坐标系中,直线y=-2/3x+2与x轴、y轴分别交于B、C两点,经过B、C两点的抛物线与x交A（-1,0）

1，求B、C两点的坐标及该抛物线所对的函数关系式
2，P是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点P作直线L∥y轴，交该抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，三角形BCE的面积为S

求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围
求出S最大值，判断此时三角形OBE形状

Answer 1

解：
1、B、C分别位于x轴、y轴，且在直线y=-2x/3+2上，所以B点坐标为(3,0), C点坐标为(0,2)
又抛物线经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,2)，设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c
将三点坐标代入得
a-b+c=0
9a+3b+c=0 可以求出：a=-2/3, b=4/3, c=2
c=2
从而得出抛物线关系式为 y=-2x2/3+4x/3+2
2、既然P是线段BC上的一动点，且XP=m，又直线L过P点平行于y轴，由题意有
XE=XP=XF=m
E点在抛物线y=-2x2/3+4x/3+2上，所以E点坐标为 (m, -2m2/3+4m/3+2)
P点在直线y=-2x/3+2上，所以 P点坐标为 (m, -2m/3+2)
F点在X轴正半轴上，所以 F点的坐标为 (m, 0)
S=S△BCE=(YE-YP)*[(XB-XP)+(XP-XC)]*1/2
=1/2×(-2m2/3+4m/3+2+2m/3-2)×3
=3/2×(-2m2/3+2m)
=-m2+3m
因P点在BC线段上，并与B、C均不重合，所以 0＜XP＜3，0＜YP＜2
从而求得 0＜m＜3
∴ S与m的函数关系式为 S= -m2+3m (0＜m＜3)

对S= -m2+3m进行因式分析有
S=-(m-3/2)2+9/4, 当m=3/2时，S有最大值 9/4
此时 三角形OBE三点坐标分别为O(0,0)，B(3,0)，E(3/2,5/2)
又直线L平行于Y轴，EF位于直线L上，所以EF⊥OB，∠OFE=∠BFE=Rt∠
由坐标关系知 OF=BF
所以△OFE≡△BFE
∴ 在△OEB中，OE=EB=√(（3/2）2+(5/2)2) =√34/2 ≠ 3=OB
∴ △OEB只能是等腰三角形，不可能是等边三角形