Question

在三角形abc中,角bac=120度,p为形内一点,求证:pa+pb+pc>ab+ac

如题

Answer 1

作等边三角形BCD，使A、D在BC的两侧；在AD上取一点E，使AE＝AB；作等边三角形BPQ，使P、Q在BC的两侧。
∵△BCD是等边三角形，∴BC＝BD、∠CBD＝∠BCD＝∠BDC＝60°。
∵∠BAC＝120°、∠BDC＝60°，∴A、B、D、C共圆，∴∠BAE＝∠BCD＝60°。
由∠BAE＝60°、AE＝AB，得：△ABE是等边三角形，∴AB＝EB＝AE、∠AEB＝60°，
∴∠BED＝180°－∠AEB＝180°－60°＝120°。

由∠BAC＝120°、∠BED＝120°，得：∠BAC＝∠BED，又AB＝EB、BC＝BD，
∴△ABC≌△EBD，∴∠ACB＝∠EDB、AC＝ED，∴AB＋AC＝AE＋ED＝AD。

∵△BPQ是等边三角形，∴PB＝QB＝PQ、∠PBQ＝60°。
∴∠PBC＝∠PBQ－∠CBQ＝60°－∠CBQ＝∠CBD－∠CBQ＝∠QBD。
由PB＝QB、BC＝BD、∠PBC＝∠QBD，得：△PBC≌△QBD，∴∠PCB＝∠QDB、PC＝QD。

∵∠ACB＝∠EDB、∠PCB＝∠QDB，∠PCB＜∠ACB，∴∠QDB＜∠EDB，
∴Q不在AD上。
∴PA＋PQ＋QD＞AD，结合证得的PQ＝PB、QD＝PC、AD＝AB＋AC，得：
PA＋PB＋PC＞AB＋AC。