Question

在三角形ABC中，若A:B:C=4:2:1求证1/a+1/b=1/c 有详细答案么？

Answer 1

证法一：
延长AC到D,使CD=CB,则角BDC=DBC=ACB/2=ABC
延长BD到E,使ED=DC,则角E=BDC/2=角A,又BC=BC，故三角形ECB≌ABC,AB=BE=BD+DE=BD+BC,BD=AB-BC=c-a
易得三角形ACB∽ABD,AC:BC=AB:BD,即b:a=c:(c-a),所以1/c+1/b=1/a

证法二：
根据题意,A=4C B=2C
由正弦定理,a/SinA=c/SinC =>a=SinA*c/SinC,把A=4C代入上式得a=4cCos2CCosC
同理得,b=2cCosC
所以,1/a+1/b=1/4cCos2CCosC +1/2cCosC
代入整理即可得到右式

追问

最后一步,1/a+1/b=1/4cCos2CCosC +1/2cCosC
是什么意思，怎么得到1/c的？

追答

用三角函数运算得到的，过程比较麻烦。不知你是否学过三角函数运算，若没学过，建议用第一种证法。

追问

就用三角函数吧，我是大学生给高中生做家教，高中的东西有些不熟了

追答

由于A=4C B=2C，A+B+C=π，因此C=π/7，代入化简。

另一种证明思路可参考：
要证1/c=1/b+1/a由正铉定理只须证明1/sinC=1/sinB+1/sinA即可。
只须证sinC(sinB+sinA)=sinBsinA
因为 A:B:C=4:2:1，A=4C,B=2C
sinC(sinA+sinB)-sinBsinA
=2sinCsin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]-sin2Csin4C (和差化积)
=2sinCsin[(π-C)/2]cos[(4C-2C)/2]-sin2Csin4AC
=2sinCcos(C/2)cosC-sin2Csin4C
=sin2C[cos(C/2)-sin4C]

又7C=π
C=π/7
所以cos(C/2)-sin4C=cos(π/14)-sin(4π/7)
=cos(π/14)-sin(π/2+π/14)
=cos(π/14)-cos(π/14)
=0

得证