Question

请问这个问题如何用数学归纳法来证明

是否存在常数a，b，使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2 +b)对任意的正整数n都成立？ 证明结论。

Answer 1

数学归纳法：首先我们令n=1
1/3×1×(a+b)=1^2=1
我们再令n=2
1/3×2×(a×4+b)=1^2+3^2=10
组成方程组
a+b=3
4a+b=15
解得a=4，b=-1
假设此等式对正整数n=k成立，即
1^2+3^2+……+(2k-1)^2=(1/3)k(4×k^2 -1)
则正整数n=k+1时
1^2+3^2+……+(2k-1)^2+(2k+1)^2=(1/3)k(4*k^2 -1)+(2k+1)^2=1/3*(k+1)(4*(k+1)^2 -1)
所以等式依然成立
综上所述存在a=4，b=-1，使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2 +b)对任意的正整数n都成立

Answer 2

解：n=1时有1=1/3×(a+b)
n=2时有1+9=1/3×2(4a+b)
如果能成立，联立得a=4，b=-1。
验证易知n=3时，左边=1+9+25=35=1/3×3×(4×9-1)=右边成立。
假设当n=k(k≥2)时有1^2+3^2+……+(2k-1)^2=(1/3)k(4k^2 -1)成立，则
当n=k+1时，有
左边=1^2+3^2+……+(2k-1)^2+(2k+1)^2=(1/3)k(4k^2 -1)+(2k+1)^2=1/3*(2k+1)(2k^2-k)+(2k+1)^2
=1/3*(2k+1)(2k^2-k+6k+3)=1/3*(2k+1)(k+1)(2k+3)=1/3*(k+1)[4(k+1)^2-1]=右边。
故对任意的正整数n都有1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(4n^2 -1)成立。