Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=√2，AF=1，M是线段EF的中点。

求证：AM⊥平面BDF

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
设BD和AC交于N，
∵平面ABCD⊥平面ACEF，
∴BD⊥平面ACEF，
∵AM∈平面ACEF，
∴BD⊥AM，
∵四边形ACEF是矩形，
∴FA⊥AC，EC⊥AC，
∴FA⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，
∵M、N分别是EF、AC的中点，
∴MN//AF，
MN=AF=1，
四边形ANMF是矩形，
AC=√2AB=√2*√2=2，
AN=AC/2=1，
∴AN=MN，
∴四边形ANMF是正方形，
∴AM⊥FN，
∵FN∩BD=N，
∴AM⊥平面BDF。

Answer 2

设AC,BD相交于O点，O为AC中点。
∵M为EF中点，所以MF=OA=1
又∵在面ACEF中，AO=AF=1，∴AM=√2
在△AFM中，AF=MF=1，AM=√2，即角AFM=90°为直角
又∵MF在平面BDF内，所以AM⊥平面BDF