Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为e1 ,x^2/a^2-y^2/b^2=-1的离心率

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为e1 ，x^2/a^2-y^2/b^2=-1的离心率为e2。
（1）。求证： 1/e1^2+e2^2=1(这个已经证好了）
（2）。求e1+e2的最小值。

Answer 1

(一）易知，e1²=(a²+b²)/a²,e2²=(a²+b²)/b².∴1/e1²+1/e2²=a²/(a²+b²)+b²/(a²+b²)=1.(二）由前可知，1=1/e1²+1/e2²≥2/(e1e2).===>e1e2≥2.等号仅当e1=e2=√2时取得。∴e1+e2≥2√(e1e2)≥2√2.等号仅当e1=e2=√2时取得。∴（e1+e2)min=2√2.

Answer 2

（2）用基本不等式可以求出最小值为2√2

追问

具体用哪一个呢

追答

把（e1+e2）^2后再用。e1^2=1+(b/a)^2,e2^2=1+(a/b)^2……
另：（1）结论不对，因为双曲线e2>1 !!!!