Question

怎样证明半圆或直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径

Answer 1

如图，AB是圆O的直径，C是圆上一点

连接OC，那么OC=OA=OB

所以，<A=<ACO，<BCO=<B

因为<A+<B+<ACB=180º

所以，<A+<B+<ACO+<BCO=180º

由此可得，2(<ACO+<BCO_)=2<ABC=180º

所以，<ACB=90º

即直径所对的圆周角是直角，

反之，三角形ABC是圆O的内接三角形。<ACB=90º

设点O是斜边AB上的中点。连接OC

因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

所以，OC=OA=OB

点O到圆上三点的距离相等，三个点确定一个圆，

所以，O是圆心，所以AB是圆O的直径

即90度圆周角所对的弦是直径

Answer 2

连接弦两端点A、B和顶点C，得△ABC
①
连接圆心O和顶点C，
因为半径长度相等，原三角形被分成两个等腰三角形，
通过等腰三角形两底角相等，三角形内角和180°，
容易得出∠C是直角。
②
在AB上取一点O’，使∠O’CA=∠A，
通过∠C=90°和三角形内角和180°，
容易得出∠O’CB=∠B，
因为两底角相等的三角形是等腰三角形，
所以O‘A=O‘C=O’B，
所以O’是圆心，
所以AB是直径。

Answer 3

斜边上的中线等于斜边的一半，所以三角形是直角三角形。所以半圆或直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径