Question

矩阵分析中如何求线性变换的不变子空间，需要给出例题的回答。“这是一个大课题...”的回答看不懂。

条件已知线性变换T在一基底Xn下的矩阵为A，要求T的不变子空间。

Answer 1

我只知道一种很笨很笨的方法，计算量很大。仅供参考一下，有不对的地方请指出来，共同进步。
这组基包含了n个线性无关的向量X1、X2......Xn，从中选出任意选出k个向量（k依次取n，n-1，n-2......1）生成相应的子空间。（则有n!/(k！*(n-k)!)种情况）
不妨设这个子空间为L{X1，X2......Xk}={q | q=p1*X1+......+pk*Xk，pi是数字}（不变子空间的定义）。
然后在这个子空间中任取一个向量q，得到q在基X1、X2......Xn下的坐标X=（p1，p2......pk，0，0......0）,然后求出q经过线性变换T(q)后在基X1、X2......Xn下的坐标Y=AX。最后判断Y是不是属于L{X1，X2......Xk}={q | q=p1*X1+......+pk*Xk，pi是数字}，即判断一下Y中第k个元素以后是不是全是零，若全是零，则这个子空间是不变子空间，否则不是。依此类推，直到把所有的k，以及k个向量时的每一种情况都考虑。

Answer 2

T的不变子空间是由变换矩阵A的特征向量张成的线性空间span(a1,a2...an)
其中a1..an是A的特征向量。