Question

高等数学题，下面这个如何证明，要详细解答过程

Answer 1

看图片。

Answer 2

分四步证明,
第一步由第一个积分条件和积分中值定理知道至少存在一个x1属于[0,a]使得f'(x1)=0,这步应该没有问题的,学过高数的都知道,其中|f(x)|最大值点也是在其中一个极值点,一个x1
第二步是思想,上面的x1要么和0的距离小于a/2,要么和a的距离小于a/2 (抽屉原则,这个比较难想,提示是结论中的4而来);好了,那么不妨假设和0的距离小于a/2 ,也就是x1属于[0,a/2]
第三步,有了上面的基础,我们要开始换了,注意第二个积分等式
x*f(x)在0到a上的积分是小于等于在0到x1上的积分的,(为什么?因为后一段的积分中f(x)是负值,x是正值,积分是负的,你画个图就容易看了)
第四步,对于x*f(x)在0到x1上的积分,存在x0属于0到x1,使得
x1*x0*f(x0)=x*f(x)在0到x1上的积分>=x*f(x)在0到a上的积分=1
那么|f(x0)|>=1/(x1*x0)
好了,这时候注意了x1和x0都是0到a/2的
所以|f(x0)|>=1/(a/2*a/2)
原命题得证