Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2^1\2且过点(4,-10^1\2)。求双曲线方程；若...

已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2^1\2且过点(4,-10^1\2)。求双曲线方程；若点M (3,m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；求三角形F 1M F 2的面积

Answer 1

离心率为2^1\2
则a²=b²
设方程 x²-y²=a²
16-10=a²
a²=6
方程为 x²/6-y²/6=1
c=2√3
M(3,m)
9-m²=6
m²=3
F1M*F2M=(2√3-3,m)*(2√3+3,m)=12-9+m²=0
所以 F1M⊥MF2,
M 在F 1F 2为直径的圆上
S=2c*|M|/2=6

Answer 2

由离心率为根号2，得a=b;由4>根号10，可设双曲线方程为：x^2-y^2=a^2,得a^2=6,得方程为x^2/6-y^2/6=1。c=根号2*根号6=根号12，所以F 1、F 2为（±根号12,0），又得m=根号3，三角形F 1M F 2的面积=1/2*根号12*根号3=3