Question

微积分问题1

请务必写出详细解答过程，重点是为什么。
第一题：
一个6英尺高的男人以速率5英尺/秒朝离地面16英尺的街灯走去，他的影子末端以怎样的速率运动？当他离开街灯的底座10英尺时他的影子长度变化速率是多撒谎哦？

第二题：
你正在从离赛车道132英尺的看台上跟随以180英里/时运动的一辆赛车进行摄像，当赛车在你正前方时你的摄像机的角度变化有多快？半秒钟以后有多快？

第三题：
一天早晨当太阳直接从头顶过时，高80英尺的建筑物在水平地面上的影子长为60英尺，在该瞬间，阳光和地面形成的夹角a以0.27度/分的速率增长，影子以什么速率缩短?(注意要用弧度，把你的结果用每分钟英寸表示，误差为0.01）

Answer 1

第一题，设影子末端到底座的距离为s，影子长度为6/16s=3/8s,
人到底座的距离为5/8s,
过了t秒之后，人到底座的距离为5/8s-5t
末端到底座的距离为s-8t所以影子末端的运动速率为8英尺每秒，
5/8s=10时，s=16，
此时影子长度3/8s=6,
经过t秒之后影子长度为3/8s-3t,
长度变化速率为3英尺每秒

第二题
需要注意的是1英里=5280英尺，180英里/时=264英尺/秒
tanθ=264t/132=2t
θ=arctan2t
θ‘=2/(1+4t^2)
t=0时θ’=2,角度变化率为2rad/s
t=1/2时 θ‘=1，角度变化率为1rad/s
第三题
设影子变化速率为x英尺每分
tanθ=80/(60-xt)
θ=arctan[80/(60-xt)]
θ'=80x/[(60-xt)^2+80^2]
取t=0化简得80x/(3600+6400)=0.27/360*2*π
解得x=0.58905英尺每分=0.58905*120英寸每分=70.67英寸每分